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七次多項式推導
f(x)=A_7 x⁷ + A_6 x⁶ + A_5 x⁵ + A_4 x⁴ + A_3 x³ + A_2 x² + A_1 x + A_0
f'(x)=7A_7 x⁶ + 6A_6 x⁵ + 5A_5 x⁴ + 4A_4 x³ + 3A_3 x² + 2A_2 x + A_1
f''(x)=42A_7 x⁵ + 30A_6 x⁴ + 20A_5 x³ + 12A_4 x² + 6A_3 x + 2A_2
f'''(x)=210A_7 x⁴ + 120A_6 x³ + 60A_5 x² + 24A_4 x + 6A_3
歸一化處理
f(0)=0
f(1)=1

f'(0)=v_0
f'(1)=v_1
f''(0)=a_0
f''(1)=a_1
f'''(0)=j_0
f'''(1)=j_1
可得出系數如下
A_0 = 0
A_1 = v_0
A_2 = 1 / 2 a_0
A_3 = 1 / 6 j_0
A_4 = -5 a_0 + 5 / 2 a_1 - 2 / 3 j_0 - 1 / 6 j_1 - 20v_0 - 15v_1 + 35
A_5 = 10a_0 - 7a_1 + j_0 + 1 / 2 j_1 + 45v_0 + 39v_1 - 84
A_6 = -15 / 2 a_0 + 13 / 2 a_1 - 2 / 3 j_0 - 1 / 2 j_1 - 36v_0 - 34v_1 + 70
A_7 = 2a_0 - 2a_1 + 1 / 6 j_0 + 1 / 6 j_1 + 10v_0 + 10v_1 - 20

通過以上公式可生成無比絲滑的凸輪曲線
以下曲線是通過七次多項式生成
位置&速度


位置&加速度
  

位置&加加速度

五次多項式推導
f(x)= A_5 x⁵ + A_4 x⁴ + A_3 x³ + A_2 x² + A_1 x + A_0
f'(x)=5A_5 x⁴ + 4A_4 x³ + 3A_3 x² + 2A_2 x + A_1
f''(x)=20A_5 x³ + 12A_4 x² + 6A_3 x + 2A_2
歸一化處理
f(0)=0
f(1)=1

f'(0)=v_0
f'(1)=v_1
f''(0)=a_0
f''(1)=a_1
可得出系數如下
A_0 = 0
A_1 = v_0
A_2 = 1 / 2 a_0
A_3 = -3 / 2 a_0 + 1 / 2 a_1 - 6v_0 - 4v_1 + 10
A_4 = 3 / 2 a_0 - a_1 + 8v_0 + 7v_1 - 15
A_5 = -1 / 2 a_0 + 1 / 2 a_1 - 3v_0 - 3v_1 + 6

通過以上公式可生成位置&速度&加速度連續的凸輪曲線(加加速度存在突變)
以下曲線是通過五次多項式生成
位置&速度


位置&加速度


位置&加加速度

三次多項式推導
f(x)= A_3 x³ + A_2 x² + A_1 x + A_0
f'(x)=3A_3 x² + 2A_2 x + A_1
歸一化處理
f(0)=0
f(1)=1

f'(0)=v_0
f'(1)=v_1
可得出系數如下
A_0 = 0
A_1 = v_0
A_2 = -2 v_0 - v_1 + 3
A_3 = v_0 + v_1 - 2

通過以上公式可生成位置&速度連續的凸輪曲線(加速度存在突變,加加速度存在沖擊)
以下曲線是通過三次多項式生成
位置&速度


位置&加速度


位置&加加速度

留樓更新【三角函數規律】

因之前進行歸一化處理,所以函數需進行縮放處理

主軸當前位置為φ
φ_i<=φ<=φ_k時執行,否則執行下一線段
當前線段主軸起點位置φ_i,終點位置φ_k,Φ_ik=φ_k-φ_i
               從軸起點位置s_i,終點位置s_k,S_ik=s_k-s_i
                                                     φ_ik=(φ-φ_i)/Φ_ik
                                                     s_ik=f(φ_ik)*S_ik
                                                     s=s_ik+s_i

VDI 2143 Blatt 2-1987

引用

引用第21樓wow588于2024-06-07 20:04發表的  :
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